रैखिक बीजगणित: सदिश समष्टि और रूपांतरण - एक वैश्विक परिप्रेक्ष्य

रैखिक बीजगणित गणित की एक मूलभूत शाखा है जो भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान, अर्थशास्त्र और सांख्यिकी सहित विभिन्न विषयों में समस्याओं को समझने और हल करने के लिए आवश्यक उपकरण और तकनीकें प्रदान करती है। यह पोस्ट रैखिक बीजगणित के भीतर दो मुख्य अवधारणाओं: सदिश समष्टि और रैखिक रूपांतरण का एक व्यापक अवलोकन प्रदान करती है, जिसमें उनकी वैश्विक प्रासंगिकता और विविध अनुप्रयोगों पर जोर दिया गया है।

सदिश समष्टि क्या हैं?

अपने मूल में, एक सदिश समष्टि (जिसे रैखिक समष्टि भी कहा जाता है) वस्तुओं का एक समूह है, जिन्हें सदिश कहा जाता है, जिन्हें एक साथ जोड़ा जा सकता है और संख्याओं द्वारा गुणा ("स्केल") किया जा सकता है, जिन्हें अदिश कहा जाता है। इन संक्रियाओं को विशिष्ट सिद्धांतों को संतुष्ट करना चाहिए ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि संरचना अनुमानित रूप से व्यवहार करती है।

सदिश समष्टि के सिद्धांत

मान लीजिए V एक ऐसा समुच्चय है जिसमें दो संक्रियाएँ परिभाषित हैं: सदिश योग (u + v) और अदिश गुणन (cu), जहाँ u और v V में सदिश हैं, और c एक अदिश है। यदि निम्नलिखित सिद्धांत लागू होते हैं तो V एक सदिश समष्टि है:

• योग के अंतर्गत संवरक: V में सभी u, v के लिए, u + v, V में है।
• अदिश गुणन के अंतर्गत संवरक: V में सभी u और सभी अदिश c के लिए, cu, V में है।
• योग की क्रमविनिमेयता: V में सभी u, v के लिए, u + v = v + u।
• योग की साहचर्यता: V में सभी u, v, w के लिए, (u + v) + w = u + (v + w)।
• योगात्मक तत्समक का अस्तित्व: V में एक सदिश 0 ऐसा मौजूद है कि V में सभी u के लिए, u + 0 = u।
• योगात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व: V में प्रत्येक u के लिए, V में एक सदिश -u ऐसा मौजूद है कि u + (-u) = 0।
• सदिश योग के संबंध में अदिश गुणन की वितरणता: सभी अदिश c और V में सभी u, v के लिए, c(u + v) = cu + cv।
• अदिश योग के संबंध में अदिश गुणन की वितरणता: सभी अदिश c, d और V में सभी u के लिए, (c + d)u = cu + du।
• अदिश गुणन की साहचर्यता: सभी अदिश c, d और V में सभी u के लिए, c(du) = (cd)u।
• गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व: V में सभी u के लिए, 1u = u।

सदिश समष्टि के उदाहरण

यहां सदिश समष्टि के कुछ सामान्य उदाहरण दिए गए हैं:

• Rⁿ: वास्तविक संख्याओं के सभी n-टपल का समुच्चय, घटक-वार योग और अदिश गुणन के साथ। उदाहरण के लिए, R² परिचित कार्तीय तल है, और R³ त्रि-आयामी स्थान का प्रतिनिधित्व करता है। इसका व्यापक रूप से भौतिकी में स्थिति और वेगों को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है।
• Cⁿ: सम्मिश्र संख्याओं के सभी n-टपल का समुच्चय, घटक-वार योग और अदिश गुणन के साथ। क्वांटम यांत्रिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है।
• M_m,n(R): वास्तविक प्रविष्टियों के साथ सभी m x n आव्यूहों का समुच्चय, आव्यूह योग और अदिश गुणन के साथ। रैखिक रूपांतरणों का प्रतिनिधित्व करने के लिए आव्यूह मौलिक हैं।
• P_n(R): अधिकतम n घात वाले वास्तविक गुणांकों के सभी बहुपदों का समुच्चय, बहुपद योग और अदिश गुणन के साथ। सन्निकटन सिद्धांत और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोगी है।
• F(S, R): एक समुच्चय S से वास्तविक संख्याओं तक के सभी फलनों का समुच्चय, बिंदुवार योग और अदिश गुणन के साथ। सिग्नल प्रोसेसिंग और डेटा विश्लेषण में उपयोग किया जाता है।

उपसमष्टि

एक सदिश समष्टि V का एक उपसमष्टि V का एक उपसमुच्चय है जो स्वयं V पर परिभाषित योग और अदिश गुणन की समान संक्रियाओं के तहत एक सदिश समष्टि है। यह सत्यापित करने के लिए कि V का एक उपसमुच्चय W एक उपसमष्टि है, यह दिखाना पर्याप्त है कि:

• W गैर-रिक्त है (अक्सर यह दिखाकर किया जाता है कि शून्य सदिश W में है)।
• W योग के अंतर्गत संवरक है: यदि u और v W में हैं, तो u + v W में है।
• W अदिश गुणन के अंतर्गत संवरक है: यदि u W में है और c एक अदिश है, तो cu W में है।

रैखिक स्वतंत्रता, आधार और विमा

एक सदिश समष्टि V में सदिशों का एक समूह {v₁, v₂, ..., v_n} रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि समीकरण c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n = 0 का एकमात्र हल c₁ = c₂ = ... = c_n = 0 है। अन्यथा, समूह रैखिक रूप से आश्रित है।

एक सदिश समष्टि V के लिए एक आधार सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समूह है जो V को फैलाता है (अर्थात, V में प्रत्येक सदिश को आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है)। एक सदिश समष्टि V की विमा V के किसी भी आधार में सदिशों की संख्या है। यह सदिश समष्टि का एक मौलिक गुण है।

उदाहरण: R³ में, मानक आधार {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} है। R³ की विमा 3 है।

रैखिक रूपांतरण

एक रैखिक रूपांतरण (या रैखिक प्रतिचित्रण) दो सदिश समष्टि V और W के बीच एक फलन T: V → W है जो सदिश योग और अदिश गुणन की संक्रियाओं को संरक्षित करता है। औपचारिक रूप से, T को निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करना चाहिए:

• V में सभी u, v के लिए T(u + v) = T(u) + T(v)।
• V में सभी u और सभी अदिश c के लिए T(cu) = cT(u)।

रैखिक रूपांतरण के उदाहरण

• शून्य रूपांतरण: V में सभी v के लिए T(v) = 0।
• तत्समक रूपांतरण: V में सभी v के लिए T(v) = v।
• मापन रूपांतरण: V में सभी v के लिए T(v) = cv, जहाँ c एक अदिश है।
• R² में घूर्णन: मूल के चारों ओर एक कोण θ द्वारा घूर्णन एक रैखिक रूपांतरण है।
• प्रक्षेपण: R³ में एक सदिश को xy-तल पर प्रक्षेपित करना एक रैखिक रूपांतरण है।
• अवकलन (अवकलनीय फलनों के समष्टि में): अवकलज एक रैखिक रूपांतरण है।
• समाकलन (समाकलनीय फलनों के समष्टि में): समाकलन एक रैखिक रूपांतरण है।

कर्नल और रेंज

एक रैखिक रूपांतरण T: V → W का कर्नल (या शून्य समष्टि) V में उन सभी सदिशों का समूह है जो W में शून्य सदिश पर मैप किए जाते हैं। औपचारिक रूप से, ker(T) = {v V में | T(v) = 0}। कर्नल V का एक उपसमष्टि है।

एक रैखिक रूपांतरण T: V → W का रेंज (या छवि) W में उन सभी सदिशों का समूह है जो V में किसी सदिश की छवि हैं। औपचारिक रूप से, range(T) = {w W में | w = T(v) किसी v V में के लिए}। रेंज W का एक उपसमष्टि है।

रैंक-नलिटी प्रमेय कहता है कि एक रैखिक रूपांतरण T: V → W के लिए, dim(V) = dim(ker(T)) + dim(range(T))। यह प्रमेय एक रैखिक रूपांतरण के कर्नल और रेंज की विमाओं के बीच एक मौलिक संबंध प्रदान करता है।

रैखिक रूपांतरणों का आव्यूह निरूपण

एक रैखिक रूपांतरण T: V → W और V और W के आधार दिए जाने पर, हम T को एक आव्यूह के रूप में दर्शा सकते हैं। यह हमें आव्यूह गुणन का उपयोग करके रैखिक रूपांतरण करने की अनुमति देता है, जो गणनात्मक रूप से कुशल है। यह व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है।

उदाहरण: रैखिक रूपांतरण T: R² → R² पर विचार करें जो T(x, y) = (2x + y, x - 3y) द्वारा परिभाषित है। मानक आधार के संबंध में T का आव्यूह निरूपण है:

ऑनलाइन पाठ्यक्रम: एमआईटी ओपनकोर्सवेयर (गिलबर्ट स्ट्रैंग का रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम), खान अकादमी (रैखिक बीजगणित)

सॉफ्टवेयर: MATLAB, Python (NumPy, SciPy लाइब्रेरीज़)